DERET HITUNG

2.1 Pengertian Deret

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan.

Misalnya:

● Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

● Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada pola perubahan bilanagan-bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya.

Suku merupakan bilangan yang merupakan unsur pembentuk deret.

Deret menurut jumlah sukunya dibagi 2 :

1.      Deret berhingga ® Deret yang suku-sukunya tertentu.

2.      Deret tak berhingga ® Deret yang jumlah suku-sukunya tak terbatas .

Sedangkan dilihat dari segi pola perubaan bilangan pada suku-sukunya, deret bisa dibedakan menjadi Deret Hitung, Deret Ukur dan Deret Harmoni.

2.2 Sejarah Deret

Perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio).Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa.Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian.Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan.

Fibonacci menulis buku Liber Abaci setelah terinspirasi pada kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang Salib.Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi.Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan nleh sistem ini, dia memutuskan untuk belajar pada matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania.Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.

Mengarang buku

Tahun 1202 dia menerbitkan buku Liber Abaci dengan menggunakan – apa yang sekarang disebut dengan aljabar, dengan menggunakan numeral Hindu-Arabik. Buku ini memberi dampak besar karena muncul dunia baru dengan angka-angka yang bisa menggantikan sistem Yahudi, Yunani dan Romawi dengan angka dan huruf untuk menghitung dan kalkulasi.

Pendahuluan buku berisi dengan bagaimana menentukan jumlah digit dalam satuan numeral atau tabel penggandaan (baca: perkalian) dengan angka sepuluh, dengan angka seratus dan seterusnya. Kalkulasi dengan menggunakan seluruh angka dan pembagian, pecahan, akar, bahkan penyelesaian persamaan garis lurus (linier) dan persamaan kuadrat.Buku itu dilengkapi dengan latihan dan aplikasi sehingga menggairahkan pembacanya.Dasar pedagang, ilustrasi dalam dunia bisnis dengan angka-angka juga disajikan.Termasuk di sini adalah pembukuan bisnis (double entry), penggambaran tentang marjin keuntungan, perubahan (konversi) mata uang, konversi berat dan ukuran (kalibrasi), bahkan menyertakan penghitungan bunga.(Pada jaman itu riba, masih dilarang). Penguasa pada saat itu, Frederick, yang terpesona dengan Liber Abaci, ketika mengunjungi Pisa, memanggil Fibonacci untuk datang menghadap. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat.

Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian.Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja.Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir.

“Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”

- Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.
- Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.
- Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.
- Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.

Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075.

Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.

Deret Fibonacci

Orang Kristen menolak angka nol; namun pedagang dalam melakukan transaksi membutuhkan angka nol. Alasan yang dipakai oleh Fibonacci adalah nol sebagai batas. Apabila diperoleh hasil negatif berarti kerugian.Orang yang mengenalkan angka nol ini ke dunia Barat adalah Leonardo dari Pisa.Meskipun ayahnya seorang Konsul sekaligus pedagang, profesi Fibonacci – tidak mau menjadi konsul, adalah seorang pedagang. Anak muda – yang lebih dikenal dengan nama Fibonacci – belajar matematika dari orang-orang Islam dan menjadi matematikawan piawai dengan cara belajar sendiri. Menemukan deret bilangan yang diberi nama seperti namanya.
Deret Fibbonacci yaitu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …

Pola deret di atas terbentuk dari susunan bilangan berurutan (dari kecil makin besar) yaitu merupakan penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Angka 3, urutan keempat, adalah hasil penjtmlahan 1 (urutan 2) + 2 (urutan 3); angka 5 urutan kelima, adalah hasil penjumlahan 2 (urutan 3) + 3 (urutan 4); angka 8 urutan keenam, adalah hasil penjumlahan 3 (urutan 4) + 5 (urutan 5) dan seterusnya. Deret di atas mampu menjawab problem kelinci beranak-pinak, alur bunga lily, pola dan jumlah mata nanas, jumlah kelopak dan alur spiral bunga jenis-jenis tertentu. Lewat deret Fibonacci ini dapat diketahui diketahui urutan atau alur yang akurat pada alam. Ukuran ruangan binatang berkulit lunak (moluska) yang berbentuk spiral, nautilus *; jumlah searah jarum jam atau berlawanan jarum jam ‘mata‘ nanas, jumlah kelopak bunga matahari dan ada 2 alur spiral (ke kanan 34 dan ke kiri 55) sesuai dengan deret Fibonacci.
            Dari deret tersebutlah ditemukan ada rasio yang paling ditemui di setiap bentuk benda di alam ini, yaitu kira-kira 1 : 1,618 atau 0,618 : 1. Rasio ini yang kemudian disebut sebagai “Golden Ratio”.

2.3 Definisi Deret Hitung

Deret Hitung disebut juga Deret Aritmatika

Deret Hitung adalah deret yang perubahan sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda.

Pembeda merupakan jumlah selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

Contoh Deret Hitung:

6, 11, 16, 21, 26, 31                (pembeda : 5)

100, 90, 80, 70, 60, 50            (pembeda : -10)

a.      Mencari Niai Suku ke-n dari Deret Hitung

Besarnya suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui rumus.

Rumus suku ke – n  dari deret hitung :      

Dimana :

S_n = Suku ke- n dari deret hitung

a = Suku pertama / S₁ 

b = Pembeda                          

                        n = Indeks suku         

5,10,15,20,25,30

Dari deret di atas dapat dilihat bahwa:

S₁ = 5              = a

S₂ = 10                        = a + (2 – 1) b             = a + b

S₃ = 15                       = a + (3 – 1) b             = a + 2b

S₄ = 20            = a + (4 – 1) b             = a + 3b

S₅ = 25            = a + (5 – 1) b             = a + 4b

S₆ = 30            = a + (6 - 1) b              = a +5b

Sebagai contoh:

Nilai suku ke-20 dan ke-50 dari deret hitung di atas masing-masing adalah:

                        S₂₀       = a + ( n -1 ) b

= 5 + ( 20 – 1 ) 5

= 5 + 95

= 100

                        S₅₀       = a + ( n – 1 ) b

= 5 + ( 50 – 1 ) 5

= 5 + 245

= 250

b.      Mencari Jumlah n Suku dari Deret Hitung

Jumlah sebuah deret hitung  sampai dengan suku tertentu tak lain adalah nilai jumlah suku-sukunya, sejak suku pertama (S₁, atau a) sampai dengan suku ke-n yang bersangkutan.

Rumus Jumlah n suku dari deret hitung:

 

atau  

J_n = ∑  Si = S₁ + S₂ +…….+ S_n

J₄= ∑  Si = S₁ + S₂ + S₃ + S₄

J₅= ∑  Si = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅

J₆ = ∑  Si = S₁ + S₂ + S₃ + S₄ + S₅ + S₆

Berdasarkan rumus S_n = a + ( n – 1 ) b, maka masing-masing S₁ dapat di uraikan. Dengan menguraikan setian S₁ maka J₄, J₅, J₆ dalam ilustrasi di atas, maka masing-masing akan menjadi seperti berikut:

       J₄   = a + ( a + b ) + ( a + 2b ) + ( a + 3b )

                        = 4a + 6b

       J₅ = a + ( a + b ) + ( a + 2b) + ( a + 3b ) + ( a + 4b)

= 5a + 10b
       J₆ = a + ( a+b ) + (a + 2b) + ( a + 3b) + ( a + 4b ) + ( a + 5b )

                        = 6a + 15b

c.       Penerapan Deret Hitung dalam Ekonomi

Deret hitung dapat diterapkan dalam ekonomi untuk memprediksi tingkat perkembangan usaha atau pertumbuhan suatu gejala tertentu daam ekonomi yang berpola perubahan seperti deret hitung (penambahan).

Jika perkembangan variable tertentu dalam kegiatan usaha seperti : produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja atau penanaman modal berpola deret hitung , maka prinsip deret hitung bisa di terapkan.

Contoh 1 :

Pak Gigih baru membuka sebuah showroom mobil di daerah Malang. Pak Gigih baru membuka usaha dengan persediaan awa 100 unit mobil. Jika dievaluasi pada akhir tahun ternyata rata-rata permintaan mobil sam pai 70 unit perbulan. Pertanyaannya, berapa jumlah stok persediaan mobil pada bulan ketujuh dan berapa total penjualan mobil hingga bulan ketujuh?

            Diket : a = 100

                        b = 70

            Ditanya : a) S₇ = . . . ?

                                     b) S₇ = . . . ?

            Jawab :

a)      S_n = a + ( n - 1) b

S₇  = a + ( 7 - 1) b

S₇  = 100 + ( 7 - 1) 70

S₇  = 100 + 6 . 70

S₇  = 100 + 420

S₇  = 520

⃰ Jadi, pada buan ke-7 showroom milik Pak Gigih tersebut mempunyai persediaan  sebanyak 520 unit mobil.             

b)      J_n = n a + n/2 ( n - 1 ) b

J₇ = 7 (100) + 7/2 ( 7 - 1 ) 70

J₇ = 700 + 7/2 . 420

J₇ = 700 + 7/2 . 420

J₇ = 700 + 1470

J₇ = 2170 unit

⃰ Jadi, showroom tersebut mempunyai akumulasi penjualan hingga 2170 unit mobil.

Contoh 2 :

Besarnya penerimaan PT.  Astra International, tbk dari hasil penjualan  Toyota Avanza  Rp. 720 Milyar  pada tahun kelima  dan pada tahun ke tujuh  berhasil mencatatkan Rp. 980 Milyar dari penjualannya. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut seperti deret hitung,, berapa perkembangan penerimaanya per tahun?  Berapa besar penerimaannya pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaannya sebesar Rp. 460 Milyar?

Ditanya : n = … ?

Diketahui : S₇ = 980

                                          S₅ = 720

 Jawab :

Dalam Milyaran:         S₇ = 980  →  a + 6b = 980

                                                S₅ = 720  →  a + 4b = 720

                                                                            2b = 260 → b = 130

Perkembangan penerimaan per tahun sebesar :

Rp. 130 Milyar

a + 4b = 720 → a = 720 – 4b = 720 – 4 (130) = 200

Perkembangan penerimaan tahun pertama  sebesar :

Rp. 200  Milyar

Sn = a + ( n – 1 ) b → 460  = 200 + ( n – 1 ) 130

                                                460 = 200 + 130 n – 130

                                                390 = 130 n

                                                    n = 3

Penerimaan sebesar Rp. 460 Milyar diterima pada tahun ke-3

3.1 Kesimpulan

1. Pengertian Deret

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan.

Keteraturan rangkaian bilangan yang membentuk sebuah deret terlihat pada pola perubahan bilanagan-bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya.

Suku merupakan bilangan yang merupakan unsur pembentuk deret.

Deret menurut jumlah sukunya dibagi 2 :

1. Deret berhingga ® Deret yang suku-sukunya tertentu.
2. Deret tak berhingga ® Deret yang jumlah suku-sukunya tak terbatas .

Sedangkan dilihat dari segi pola perubaan bilangan pada suku-sukunya, deret bisa dibedakan menjadi Deret Hitung, Deret Ukur dan Deret Harmoni.